报 告 人：洪绍方 教授
报告题目：On the number of zeros of diagonal cubic forms over finite fields
报告时间：2021年6月11日（周五）上午9:30
报告地点：静远楼1508学术报告厅
主办单位：数学与统计学院、科学技术研究院
报告人简介：
洪绍方,四川大学数学学院教授、博士生导师，教育部新世纪优秀人才,四川省学术和技术带头人，任国际数学期刊AIMS Mathematics和Journal of Mathematics等编委, 主要从事数论、算术几何和编码等方面的研究, 先后负责主持国家自然科学基金和教育部博士点基金等10多个纵向项目. 已经在国内外30多种重要数学期刊上发表论文100多篇，其中SCI收录论文70多篇,解决了其他作者所提出的若干公开问题和猜想,本人所提出的若干猜想已经被欧美一些作者所证明（均发表在国际知名数学期刊上）. 先后访问了美国，法国，以色列, 日本和韩国等国以及台湾和香港等地的一些著名高校和研究所，于2013年参加了在台湾大学举行的第六届国际华人数学家大会，并作45分钟的邀请报告.已经培养毕业硕士60多名，毕业博士10多名, 其中多人已经晋升教授.
报告摘要：
Let $\F_q$ be the finite field with $q=p^k$ elements with $p$ being a prime and $k$ be a positive integer. For any $y, z\in\mathbb{F}_q$, let $N_s(z)$ and $T_s(y)$ denote the numbers of zeros of $x_1^{3}+\cdots+x_s^3=z$ and $x_1^3+\cdots+x_{s-1}^3+yx_s^3=0$, respectively. Gauss proved that if $q=p, p\equiv1\pmod3$ and $y$ is non-cubic, then $T_3(y)=p^2+\frac{1}{2}(p-1)(-c+9d)$, where $c$ and $d$ are uniquely determined by $4p=c^2+27d^2,~c\equiv 1 \pmod 3$ except for the sign of $d$. In 1978, Chowla, Cowles and Cowles determined the sign of $d$ for the case of $2$ being a non-cubic element of $\F_p$. But the sign problem is kept open for the remaining case of $2$ being cubic in $\F_p$. In this paper, we solve this problem by determining the sign of $d$ when $2$ is cubic in $\F_p$. Furthermore, we show that the generating functions $\sum_{s=1}^{\infty} N_{s}(z) x^{s}$ and $\sum_{s=1}^{\infty} T_{s}(y)x^{s}$ are rational functions for any $z, y\in\mathbb F_q\setminus \{0\}$ with $y$ being non-cubic over $\F_q$ and also give their explicit expressions. This extends the theorem of Myerson and that of Chowla, Cowles and Cowles.This is a joint work with Dr C.X. Zhu.